一元二次不等式及其解法

一元二次不等式是指形如 ( ax2 + bx + c > 0 ) 或 ( ax2 + bx + c < 0 ) 的不等式，其中 ( a, b, c ) 是常数，且 ( a neq 0 )。解一元二次不等式通常包括以下步骤：

1. 确定不等式的形式

需要确定不等式的形式是 ( ax2 + bx + c > 0 ) 还是 ( ax2 + bx + c < 0 )。

2. 将不等式化为标准形式

如果 ( a < 0 )，则将不等式两边同时乘以 -1，并改变不等号的方向，化为 ( ax2 + bx + c < 0 ) 的形式，这样便于使用公式求解。

3. 求解对应的二次方程

将不等式 ( ax2 + bx + c < 0 ) 或 ( ax2 + bx + c > 0 ) 转化为等式 ( ax2 + bx + c = 0 )，并求解这个二次方程。

4. 确定根的区间

求出二次方程的根 ( x_1 ) 和 ( x_2 )（其中 ( x_1 < x_2 )），这两个根将数轴分为三个区间：( (-infty, x_1) )，( (x_1, x_2) )，和 ( (x_2, +infty) )。

5. 测试每个区间

选择每个区间中的一个测试点，将其代入原不等式，看不等式是否成立。如果成立，则该区间为不等式的解集的一部分。

6. 确定解集

根据测试结果，确定不等式的解集。对于 ( ax2 + bx + c > 0 )，解集是所有使得不等式成立的 ( x ) 的集合；对于 ( ax2 + bx + c < 0 )，解集是所有使得不等式成立的 ( x ) 的集合。

例子

解不等式 ( x2 5x + 6 < 0 )。

1. 确定不等式形式：已经是标准形式。

2. 求解对应的二次方程：( x2 5x + 6 = 0 )。

3. 解方程：( (x 2)(x 3) = 0 )，得到 ( x_1 = 2 ) 和 ( x_2 = 3 )。

4. 测试区间：取 ( x = 1 )（在 ( (-infty, 2) ) 区间），代入不等式 ( 12 5 cdot 1 + 6 = 2 > 0 )，不成立；取 ( x = 2.5 )（在 ( (2, 3) ) 区间），代入不等式 ( 2.52 5 cdot 2.5 + 6 = -0.25 < 0 )，成立；取 ( x = 4 )（在 ( (3, +infty) ) 区间），代入不等式 ( 42 5 cdot 4 + 6 = 2 > 0 )，不成立。

5. 确定解集：解集为 ( (2, 3) )。

通过以上步骤，我们可以解出任何一元二次不等式的解集。